Įverčių sudarymo būdai. Didžiausio tikėtinumo metodas.

Didžiausio tikėtinumo metodą pirmiausia aptarsime tolydžiųjų atsitiktinų dydžių atveju. Tarkime, stebime atsitiktinį dydį X, kurio tankis p_{\theta}(x)  priklauso nuo nežinomojo vienamačio parametro \theta.  Tikėtinumo funkcija sudaroma taip:

L_{\theta}=p_{\theta}(X_1)p_{\theta}(X_2) p_{\theta}(X_n).

Taigi tankio funkcijoje vietoje argumento iš eilės įstatome X_1,...,X_n. Ieškome tokio \theta , kuris maksimizuotų funkciją L_{\theta} . Dažniausiai, tai daroma taip:

1) randame \ln L_{\theta} ;

2) apskaičiuojame \ln L_{\theta} išvestinę pagal \theta(\ln L_{\theta})';

3) prilyginame rastą išvestinę nuliui (\ln L_{\theta})'=0 ir gautą lygtį išsprendžiame \theta atžvilgiu;

4) gautą rezultatą \hat{\theta} laikome \theta įverčiu.

Pastaba. Jeigu \theta=(\theta_1 , ... , \theta_k), t.y. turime k nežinomų parametrų, tai randamos dalinės \ln L_{\theta} išvestinės pagal \theta_1 , ... , \theta_k . Jos prilyginamos nuliui ir sprendžiama gautoji k lygčių sistema. Gauti  \hat{\theta_1} , ... , \hat{\theta_k} laikomi ieškomaisiais įverčiais.

Pavyzdys. Stebime X\sim P(\lambda). Didžiausio tikėtinumo metodu įvertinsime parametrą \lambda. Žinome, kad

P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2,...

Todėl

L_{\lambda}= \frac{\lambda^{X_1}}{X_1!}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{X_2}}{X_2!}e^{-\lambda} ... \frac{\lambda^{X_n}}{X_n!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{X_1+X_2+ ... + X_n}}{X_1!X_2!...X_n!}e^{-n\lambda},

\ln L_{\lambda}= -\ln X_1!X_2! ... X_n! + (X_1+X_2+ ... +X_n)\ln\lambda - n\lambda ,

(\ln L_{\lambda})'= 0 +(X_1+X_2+ ... +X_n)/\lambda-n .

Šį reiškinį prilyginę nuliui ir išsprendę \lambda atžvilgiu, gauname

\hat{\lambda}=(X_1+...X_n)/n=\bar{X}.

Didžiausio tikėtinumo metodu gaunami geresni taškiniai įverčiai negu momentų metodu. Todėl Puasono skirstinio atveju geriau naudoti įvertį  \hat{\lambda}=\bar{X}. Dauguma didžiausio tikėtinumo metodų yra paslinktieji.

Reklama

Žymos:

Parašykite komentarą

Įveskite savo duomenis žemiau arba prisijunkite per socialinį tinklą:

WordPress.com Logo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo WordPress.com paskyra. Atsijungti / Keisti )

Twitter picture

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Twitter paskyra. Atsijungti / Keisti )

Facebook photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Facebook paskyra. Atsijungti / Keisti )

Google+ photo

Jūs komentuojate naudodamiesi savo Google+ paskyra. Atsijungti / Keisti )

Connecting to %s


%d bloggers like this: