Archive for 2009 lapkričio

Įverčių sudarymo būdai. Didžiausio tikėtinumo metodas.

lapkričio 28, 2009

Didžiausio tikėtinumo metodą pirmiausia aptarsime tolydžiųjų atsitiktinų dydžių atveju. Tarkime, stebime atsitiktinį dydį X, kurio tankis p_{\theta}(x)  priklauso nuo nežinomojo vienamačio parametro \theta.  Tikėtinumo funkcija sudaroma taip:

L_{\theta}=p_{\theta}(X_1)p_{\theta}(X_2) p_{\theta}(X_n).

Taigi tankio funkcijoje vietoje argumento iš eilės įstatome X_1,...,X_n. Ieškome tokio \theta , kuris maksimizuotų funkciją L_{\theta} . Dažniausiai, tai daroma taip:

1) randame \ln L_{\theta} ;

2) apskaičiuojame \ln L_{\theta} išvestinę pagal \theta(\ln L_{\theta})';

3) prilyginame rastą išvestinę nuliui (\ln L_{\theta})'=0 ir gautą lygtį išsprendžiame \theta atžvilgiu;

4) gautą rezultatą \hat{\theta} laikome \theta įverčiu.

Pastaba. Jeigu \theta=(\theta_1 , ... , \theta_k), t.y. turime k nežinomų parametrų, tai randamos dalinės \ln L_{\theta} išvestinės pagal \theta_1 , ... , \theta_k . Jos prilyginamos nuliui ir sprendžiama gautoji k lygčių sistema. Gauti  \hat{\theta_1} , ... , \hat{\theta_k} laikomi ieškomaisiais įverčiais.

Pavyzdys. Stebime X\sim P(\lambda). Didžiausio tikėtinumo metodu įvertinsime parametrą \lambda. Žinome, kad

P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k=0,1,2,...

Todėl

L_{\lambda}= \frac{\lambda^{X_1}}{X_1!}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{X_2}}{X_2!}e^{-\lambda} ... \frac{\lambda^{X_n}}{X_n!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{X_1+X_2+ ... + X_n}}{X_1!X_2!...X_n!}e^{-n\lambda},

\ln L_{\lambda}= -\ln X_1!X_2! ... X_n! + (X_1+X_2+ ... +X_n)\ln\lambda - n\lambda ,

(\ln L_{\lambda})'= 0 +(X_1+X_2+ ... +X_n)/\lambda-n .

Šį reiškinį prilyginę nuliui ir išsprendę \lambda atžvilgiu, gauname

\hat{\lambda}=(X_1+...X_n)/n=\bar{X}.

Didžiausio tikėtinumo metodu gaunami geresni taškiniai įverčiai negu momentų metodu. Todėl Puasono skirstinio atveju geriau naudoti įvertį  \hat{\lambda}=\bar{X}. Dauguma didžiausio tikėtinumo metodų yra paslinktieji.

Reklama

Įverčių sudarymo būdai. Momentų metodas.

lapkričio 27, 2009

Tiriamojo atsitiktinio dydžio X skirstinys priklauso nuo nežinomojo parametro \theta , todėl nuo jo turėtų priklausyti ir momentai. Momentų metodas siūlo sulyginti atsitiktinio dydžio momentus su jų empiriniais atitimenimis ir sudaryti lyčių sistemą :

EX= \bar{X} , DX=S^2 ir t.t.

Lygčių yra sudaroma tiek, kiek yra nežinomų parametrų( primenu, kad bendru atveju \theta=(\theta_1 ,\theta_2 ,...,\theta_k )).  Išsprendę sudarytas lygtis nežinomų parametrų atžvilgiu, gauname  \theta_1 , \theta_2 , … ,\theta_k įverčius.

1 pavyzdys. Stebime X\sim N(\mu,\sigma^2) , kurio \mu ir \sigma^2 nežinomi. Momentų metodu raskime  \mu ir \sigma^2 įverčius. Kadangi EX= \mu ir DX=\sigma^2 , tai iškart gauname

\mu=\bar{X}, \sigma^2=S^2.

Pažymime, kad gavome įverčius (t.y. atsitiktinius dydžius).

Atsakymas: \hat{\mu}=\bar{X}, \hat{\sigma^2}=S^2.

2  pavyzdys. Stebime X \sim B(100,p). Momentų metodu raskime p įvertį. Iš tikimybių teorijos žinome, kad EX=100p. Todėl

100p=\bar{X}, p=\frac{\bar{X}}{100}.

Atsakymas: \hat{p}=\bar{X}/100 .

3 Pavyzdys. Stebime X \sim P(\lambda) . Momentų metodu raskime \lambda įvert. Žinome, kad EX=\lambda . Todėl \hat{\lambda}=\bar{X}. Tačiau ir DX=\alpha . Todėl galime imti \hat{\lambda}=S^2. Kuris iš dviejų įverčių –   \hat{\lambda}=\bar{X} , \hat{\lambda}=S^2 -geresnis? Momentų metodu atsakymo į šį klausimą negauname.

Lognormalusis pasiskirstymas

lapkričio 22, 2009

Apibrėžimas. A.d. T turi lognormalųjį pasiskirstymą su parametrais a\in \Re , \sigma > 0 , jei a.d. \ln T turi normalųjį pasiskirstymą su parametrais a ir \sigma , t.y. a.d. T paiskirstymo funkcija yra šitokio pavidalo :

F_T(t)=\Phi(\frac{\ln t - a}{\sigma});

čia \Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}exp\left\{ \frac{-u^2}{2} \right\} du – standartinio normaliojo pasiskirstymo funkcija.

Tinkamai parinkus parametrus, lognormaliojo pasiskirstymo tankio funkcijos grafikas artimas gama ir Veibulo pasiskirstymų grafikams. Lognormalusis pasiskirstymas atskiriamas nuo Veibulo pasiskirstymo lengviau negu gama pasiskirtymas. Tais atvejais, kai lognormaliojo ir Veibulo pasiskirstymų pirmieji du momentai sutampa, lognormaliojo pasiskirstymo atveju santykis tarp gedimų skaičiaus pradiniu ir vėlesniu laikotarpiu yra didesnis, t.y. tankio kairė “uodega“ sunkesnė.

Gama pasiskirstymas

lapkričio 22, 2009

Apibrėžimas. A.d. T turi gama pasiskirstymą su parametrais \lambda , \alpha > 0 , jei jo pasiskirstymo tankis yra šitokio pavidalo:

f_T(t)= \frac{\lambda^{\alpha}t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}exp\left\{ -\lambda t \right\} , t\leq 0 .

Eksponentinis pasiskirstymas yra atskiras gama pasiskirstymo atvejis, kai \alpha=1 .

Gama ir Veibulo pasiskirstymo funkcijų ir tankių grafikai labai panašūs, jei jų parametrai tinkamai parenkami. Šių pasiskirstymų patikimumo kriterijai praktiškai taip pat nesiskiria.

Veibulo pasiskirstymas

lapkričio 22, 2009

Apibrėžimas. A.d. T turi Veibulo pasiskirstymą su parametrais \alpha, \theta > 0 , jei jo pasiskirstymo funkcija yra šitokio pavidalo:

F_T(t)=1-exp\left\{ -(\frac{t}{\theta})^{\alpha}\right\} , t\geq 0 .

Nagrinėjamą pasiskirstymą pirmasis aprašė V.Veibulas 1939m. Veibulo pasiskirstymo šeima kur kas turtingesnė už eksponentinio pasiskirstymo šeimą, nes priklauso ne nuo vieno, o nuo dviejų parametrų. Todėl šiuo pasiskirstymu aprašomas daug įvairesnių gaminių rūšių darbo laiko pasiskirstymas.

p.s. Eksponentinis pasiskirstymas yra atskiras Veibulo pasiskirstymo atvejis, kai \alpha=1 .

Atsitiktinės funkcijos dispersija ir jos sąvybės.

lapkričio 14, 2009

Tegu X(t)– atsitiktinė funkcija. Fiksuojant argumento t reikšmę (t.y. t=t_1) gauname pjūvį- atsitiktinį dydį X(t_1) su dispersija D[X(t_1)]\geq 0. Tokiu būdu, kiekvieną fiksuotą argumento t reikšmę atitinka tam tikra dispersija, o tai reiškia, kad atsitikrinės funkcijos dispersija yra kintamojo t funkcija (neatsitiktinė). Šią funkciją žymime D_X(t). Atsitiktinės funkcijos X(t) dispersija vadinsime neatsitiktinę neneigiamą funkciją D_X(t), kurios reikšmės kiekvienam fiksuotam kintamajam  t yra  lygios dispersijos pjūviui, kuris atitinka tapačią argumento reikšmę:

D_X(t)=D[X(t)].

Dispersija parodo išsibarstymo lygi aplink galimų atsitiktinės funkcijos matematinių  realizacijų .  Vietoj dispersijos dažnai yra nagrinėjamas atsitiktinės funkcijos vidutinis kvadratinis nuokrypis:

\sigma_x(t)=\sqrt{D_X(t)} .

Atsitiktinės funkcijos dispersijos sąvybės.

1. Neatsitiktinės funkcijos \varphi (t) dispersija lygi nuliui :

D[(t)]=0.

2. Atsitiktinės X(t) ir neatsitiktinės \varphi (t) funkcijų sumos atveju dispersija yra lygi atsitiktinės funkcijos dispersijai:

D[X(t)+\varphi (t)]=D_X(t).

3. Atsitiktinės X(t) ir neatsitiktinės \varphi (t) funkcijos sandaugos dispersija yra lygi neatsitiktinės funkcijos kvadrato su atsitiktinės funkcijos dispersija sandaugai:

D[X(t)\varphi (t)]=\varphi^2(t)D_X(t).

Atrankinės kontrolės sąvoka

lapkričio 14, 2009

Pradedant masiškai gaminti tam tikrą gaminį, paprastai atliekami patikimumo eksperimentai ir pagal gautus duomenis įvertinamos jo patikimumo charakteristikos, nustatomas gaminio garantinis laikas. Garantiniu laiku vadinamas laikas per kurį sugenda nedidelė dalis gaminių, dažniausiai – darbo laiko T q kvantilis (čia q – artimas nuliui skaičius). Per garantinį laiką sugenda 100q\% , nesugenda (1-q)100\% gaminių. Skaičių 1-q vadinsime garantija.

Atskirais laiko momentais gali sutrikti technologinis procesas. Dėl to pradedami gaminti gaminiai su blogesniais patikimumo rodikliais. Tam, kad būtų galima pastebėti ir likviduoti šį sutrikimą, atliekama išleidžiamų gaminių kontrolė. Visų gaminių patikrinti dažnai neįmanoma, todėl paprastai kontroliuojama tik dalis gaminių, t.y. atliekama atrankinė patikimumo kontrolė.

1^0. Paprasčiausiais atrankinės patikimumo kontrolės planas.:

tūrio w gaminių partijos bandomos laiką \tau. Jei per šį laiką sugedusių gaminių skaičius X>c (čia c – neneigiamas sveikasis skaičius), tai laikoma, kad technologinis procesas sutriko, jei X\leq c – gamyba vyksta normaliai.

Parametrai n,\tau ir c parenkami taip, kad normalios gamybos atveju įvykio X>c tikimybė būtų maža, o sutrikusios gamybos atveju- didelė.

Darbo laiko pasiskirstymo funkcijas normalios ir sutrikusios gamybos atveju pažymėkime atitinkamai F_1(t) ir F_2(t). Atsitiktinis dydis X turi binominį pasiskirstymą su parametrais n ir p_1=F_1(\tau) (pirmu atveju) arba n ir p_2=F_2(\tau) (antru atveju).

Naudojant nurodytą kontrolės planą, galimos dviejų rūšių klaidos:

1) gamyba vyksta normaliai, bet X>c, t.y. duodamas signalas apie galimą technologinio proceso sutrikimą;

2) gamyba sutrikusi, bet X\leq c , t.y. laikoma, kad ji vyksta normaliai.

2^0.Apibrėžimas. Tikimybės \alpha=P\left\{ X>c|p_1\right\} ir \beta=P\left\{ X\leq c|p_2\right\} vadinamos atitinkamai gaminio ir vartotojo rizika.

Atstatomų gaminių patikimumo charakteristikos

lapkričio 6, 2009

Tarkim, kad sugedęs gaminys remontuojamas arba pakeičiamas nauju. Turime vadinamąjį atstatomajį gaminį, kuris daug kartų genda. Pažymėkime \tau_i laiką tarp (i-1) -mo ir i -to gedimo momentų (i=1,2,...) . \tau_1,\tau_2,...,\tau_n,... laikysime nepriklausomais, vienodai pasiskirsčiusiais atsitiktiniais dydžiais. Tarkim, kad \tau_1 \sim F(t), t.y. kiekvieno iš a.d \tau_i p.f. yra F(t) .

Pažymėkime  T_n=\sum_{k=1}^n\tau_k n-to gedimo momentą. Tada T_n\sim F_n; čia F_n=F*...*F yra n funkcijų F,...,F sąsuka. Pažymėkime f_n a.d. T_n tankį.

1^0.Apibrėžimas.Seka \left\{T_n\right\} vadinama atstatymo procesu. Atstatomo gaminio gedimų per laiko intervalą [0,t] skaičių pažymėkime N(t).

2^0.Teorema. A.d. N(t) pasiskirstymas apibrėžiamas lygybe

P\left\{N(t)=n\right\}=F_n(t)-F_{n+1}(t);

čia n=0,1,...;\ F_0(t)\equiv 1.

Įrodymas. Teoremos teiginys išplaukia iš lygybės

P\left\{N(t)\geq n \right\}= P\left\{T_n\leq t \right\}=F_n(t).

3^0.Apibrėžimas. Funkcija H(t)=MN(t) vadinama atstatymų funkcija.

Atsatatymų funkcija nusako vidutinį gedimų skaičių per laiko intervalą [0,t].

4^0.Teorema.Teisinga lygybė

H(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}F_n(t).

Įrodymas.

H(t)=MN(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}n[F_n(t)-F_{n+1}]=\sum_{n=1}^{+\infty}nF_n(t)- )=

\sum_{n=2}^{+\infty}(n-1)F_n(t)= \sum_{n=1}^{+\infty} F_n(t).

5^0.Apibrėžimas. Funkcija h(t)=H'(t) vadinama atstatymų intensyvumo funkcija.

Kadangi h(t)=\lim_{\Delta{ t}\to {0}}\frac{[H(t+\Delta t)-H(t)]}{\Delta t}, tai atstatymų intensyvumą galima interpretuoti kaip vidutinį atstatomo gaminio gedimų skaičių per laiko vienetą po momento t .

Neatstatomų gaminių patikimumo charakteristikos

lapkričio 5, 2009

Tarkime, kad gaminio darbo laikas T – neneigiamas atsitiktinis dydis (a.d) su pasiskirstymo funkcija (p.f) F_T(t)  ir tankiu f_T(t).

1^0. Apibrėžimas. Funkcija

R_T(t)=1-F_T(t) ,

t.y. tikimybė, kad gaminys nesuges per laikąt, vadinama patikimumo finkcija.
Kai gamyba masinė, 100 R_t(t) \%  gaminių nesuges per laiką t.

2^0. Apibrėžimas. Funkcija

\lambda_T(t)=\frac{f_T(t)}{R_t(t)}

vadinama gedimų intensyvumu.

Išsiaiškinsime gedimų intensyvumų prasmę. Tarkim, jog turime n gaminių. Gaminių, sugedusių per laiko intervalą [0,t] , skai2ш7 pažymėkime n(t). Jei n didelis ir \Delta t mažas, tai

\lambda_T(t)\approx\frac{F_T(t+\delta t)-F_T(t)}{\Delta t(1-F_T(\delta t))}\approx\frac{n(t+\delta t)-n(t)}{ \delta t(n-n(t))}.

Vadinasi, gedimų intensyvumas parodo, kokia dalis elementų, nesugedusių iki momento t, suges per laiko vienetą po momento t.

Iš (1.1.2) išplaukia:

\displaystyle R_T(t)=exp\left\{-\int_0^t\lambda_T(\tau)d\tau\right\}.

4^0. Apibrėžimas. A.d. T p kvantiliu vadinamas lygties F_T(t)=p sprendinys t_p.

Kvantilis t_p yra tas laiko momentas, iki kurio sugenda 100p\% gaminių, kai gamyba yra masinė. Jei funkcija F_t(t) tasko t_p aplinkoje yra bijekcija, tai

t_p=F_T^{-1}(p),

cia F_T^{-1}(t) – funkcija, atvirkštinė funkcijai F_T(t).

Vienas iš pagrindinių patikimumo teorijos uždavinių yra patikimumo charakteristikų R_T(t),\lambda_T(t),t_p įvertinimas.

5^0. Pastaba. Kai neįmanoma gerai įvertinti nurodytų patikimumo charakteristikų, ieškomi patikimumo charakteristikų, nes visisškai nusakančių darbo laiko pasiskirstymą, įverčiai. Tokių chrakteristikų pavyzdžiais  gali būti darbo laiko vidurkis ir dispersija:

MT=\int_0^{+\infty}t dF_t(t)=\int_o^{+\infty} R_T(t)dt,

DT= \int_0^{+\infty}t^2 dF_t(t)-(MT)^2=2\int_o^{+\infty} tR_T(t)dt-(MT)^2.

Fišerio kriterijus

lapkričio 1, 2009

Fišerio kriterijus naudojamas tikrinant dviejų imčių dispersijų lygybę;

Tikrinant padėties hipotezes (hipotezes apie vidurinių reikšmių lygybę dviejose imtyse) Stjudento kriterijumi yra prasminga prieš tai patikrinti dispersijų lygybės hipotezę. Jeigu ji teisinga, tai imčių vidurinių reikšmių palyginimui galime naudotis ‘stipresniu’ kriterijumi.

Kriterijaus aprašymas:

Tarkime turime dvi imtis x^n=(x_1,..,x_n) , x_i\in\Re ; y^m=(y_1,..,y_m), y_i\in\Re.

Pažymėsime {\sigma_1}^2  ir {\sigma_2}^2 imčių x^n ir y^m dispersijas, o {s_1}^2 ir {s_2}^2 tam tikras dispersijų {\sigma_1}^2  ir  {\sigma_2}^2 reikšmes:

{s_1}^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2 ;

{s_2}^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m} (y_i-\bar{y})^2,

kur

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i , \bar{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} y_i – vidutinės imčių x^n ir y^n reikšmės.

Be to tarsime, kad imtys x^n ir y^m yra normuotos.

Fišerio statistinis kriterijus :

F=\frac {s_1^2}{s_2^2}

priimta skaitiklyje imti didesniąją iš dispersijų, tada kritinė sritis bus dašinėje  uodegos pusėje Fišerio pasiskirstymo funkcijoje, kas atitiks alternatyviąją hipotezę {H_1}' .

Kriterijus (kai reikšmingumo lygmuo \alpha) :

\bullet prieš alternatyvą H_1 : \sigma_1^2\neq\sigma_2^2

jeigu F< F_{\frac{\alpha}{2}}(n-1, m-1) arba F> F_{1-\frac{\alpha}{2}} (n-1, m-1) , tai nulinė hipotezė H_o paneigiama hipotezės H_1 naudai.

\bullet prieš alternatyvą {H_1}' : \sigma_1^2>\sigma_2^2

jeigu F>F_{1-\alpha} (n-1, m-1) , tai nulinė hipotezė H_0 paneigiama alternatyvos {H_1}' naudai.

P.s. Fišerio kriterijus yra taikomas esant nepriklausomoms ir normuotoms imtims. Prieš jo taikymą rekomenduojama patikrinti ar imtys yra normuotos.